Das várias áreas em que a Matemática se pode dividir como, por exemplo, a Geometria, a Álgebra ou a Topologia, existe uma que está entre as mais antigas e surpreendentes e que, ainda nos dias de hoje, encerra muitos mistérios e sortilégios. Falamos da Teoria dos Números — ou Aritmética Superior, como por vezes também é conhecida — e que se debruça sobre o estudo das propriedades dos números inteiros. Referiremos, como breve nota histórica, que a Aritmética fazia parte do Quadrivium, que juntamente com o Trivium, compunham as sete Artes Liberais que eram ensinadas nas universidades medievais.
Talvez o mais antigo registo de natureza aritmética possa ser encontrado na tábua de argila Plimpton 322, que se julga ter sido escrita por volta do ano de 1800 a.C., no período da Antiga Mesopotâmia. Alguns estudiosos, como o matemático e historiador austríaco Otto Neugebauer (1899 – 1990), sustentam que, para além dos acurados desenvolvimentos no campo da Trigonometria, pelo menos 1500 anos antes dos estudos levados a cabo pelo grego Hiparco de Niceia (190 – 120 a.C.), a tabela Plimpton 322 contém, também, uma lista de “ternos pitagóricos” — números que satisfazem o Teorema de Pitágoras. Um desses triplos é 2291, 2700 e 3541, o que prenuncia um elevado grau de sofisticação do cálculo dos matemáticos na Antiga Babilónia.
Muito mais tarde, por volta do ano 600 a.C., Pitágoras e os seus discípulos decompuseram os números inteiros em pares, ímpares, primos e compostos. Da Escola Pitagórica, de entre várias contribuições, surgiu, também, o conceito de número perfeito: “número que é igual à soma dos seus divisores próprios. E.g.: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14”. Os gregos antigos conseguiram identificar quatro números perfeitos: 6, 28, 496 e 8128.
De entre os grandes nomes associados à Teoria dos Números, poderemos relevar os nomes de Diofanto, Fermat, Euler, Lagrange ou Legendre, para chegarmos a Gauss que, com a sistematização dos assinaláveis resultados conseguidos pelos matemáticos queo precederam — a que acrescentou notáveis e originais contributos —, produziu um grandioso tratado publicado em 1801, com a idade de apenas 24 anos.
Aquele tratado, de seu nome Investigações Aritméticas — título desta categoria —, consolidou aquele ramo das Matemáticas e instituiu-se, decisivamente, como uma obra de referência para o seu estudo.
No âmbito dos muitos resultados apresentados naquele livro, referiremos uma das maiores contribuições para a Teoria dos Números, a saber, o enunciado e a primeira demonstração, em moldes modernos quanto ao seu rigor, do Teorema Fundamental da Aritmética, cuja primeira formulação conhecida já constava, no entanto, dos Elementos de Euclides. A publicação, em 1801, de Disquisitiones Arithmeticae (Investigações Aritméticas), constitui um dos momentos de maior fastígio da História da Matemática, sendo a sua grandiosidade e influência só equiparável à magnificência dos Elementos de Euclides, no dizer de muitos estudiosos.
A findar esta breve nota introdutória, adiantaremos que Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), considerado o mais proeminente matemático do Séc. XIX e um dos maiores vultos da História da Matemática, proclamou que “A Matemática é a rainha das Ciências, e a Aritmética (Teoria dos Números) é a rainha da Matemática”! Nesta categoria, tentaremos divisar a beleza e o sortilégio que os números, em si, encerram.