Dediquemos, uma vez mais, o melhor da nossa atenção às fracções egípcias para, desta feita, discorrermos um pouco sobre uma apresentação na qual tentaremos lobrigar algum do fascínio que, ainda hoje, aquele capítulo da História da Matemática carrega consigo.
Regressemos, então, ao Império Médio do Antigo Egipto para nos depararmos com documentos de enorme valia, como o Papiro de Rhind, o Papiro de Moscovo ou o Rolo em Pergaminho, que nos revelam algumas das técnicas muito peculiares utilizadas na resolução de problemas com recurso às fracções egípcias.
Começaremos por dilucidar que denominamos por fracção egípcia toda e qualquer soma de fracções unitárias distintas. Notaremos, de igual modo, que os matemáticos egípcios faziam uso do sistema de numeração decimal. Daremos nota do historiador Heródoto de Halicarnasso e do matemático Pitágoras de Samos. Faremos, obviamente, referência à tabela que surge logo no início do Papiro de Rhind e que é composta pelas expansões dos números do tipo 2/n em que o denominador assume os valores dos números ímpares que vão de 3 a 101. Teremos, no decorrer da nossa apresentação, o ensejo de inserir essa notável tabela com os seus cinquenta desenvolvimentos.
Assinalaremos também o facto de, no papiro de Rhind, não existirem nem demonstrações, nem tão-pouco meras informações de como foram obtidas as fórmulas utilizadas. Voltaremos a falar da Pedra da Roseta e dos nomes de Thomas Young e de Jean-François Champollion, dois notáveis egiptólogos a ela associados. Daremos breve nota das pirâmides de Quéops, Quéfren e Miquerinos, as impressionantes Pirâmides de Gizé, construídas durante o Antigo Império (c. 2686 – c. 2181 a.C.), conhecido, justamente, como o “Período das Pirâmides”. Enfatizaremos a figura do notável matemático italiano Fibonacci, também conhecido como Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano ou Leonardo Bigollo, mencionando o “algoritmo guloso” que surge no seu fabuloso e influente Liber Abaci. Faremos ainda uma breve referência ao olho de Horus, considerado pelos Antigos Egípcios como um símbolo de poder e de amparo contra as forças do mal. Ao longo da apresentação, deparar-nos-emos com algumas impressionantes identidades que permitiram alcançar os desenvolvimentos presentes na extraordinária tabela já mencionada anteriormente.
Veremos que os matemáticos egípcios trabalharam com vários tipos de identidades conforme a natureza do número que constava do denominador, ainda que não haja qualquer indicação sobre o critério que presidiu à escolha dessas mesmas identidades em detrimento de tantas outras. É de toda a pertinência sublinhar que as identidades das quais daremos mão podem não corresponder aos métodos usados pelos matemáticos egípcios.
Começaremos por ver os desenvolvimentos para as fracções em cujos denominadores figuram os números 3, 5, 7, 11 e 23 — aparentemente, o número 23 surge nessa lista de modo fortuito. Em seguida, observaremos as identidades que nos permitem obter o desenvolvimento das fracções em que nos denominadores constam múltiplos daqueles números primos. Este facto coloca-nos perante o impressionante feito de os matemáticos egípcios, mais de um milénio antes de Pitágoras, já poderem estar cientes da distinção entre números primos e compostos — o que nos remete para o uso prático do princípio que subjaz ao “Crivo de Eratóstenes”.
Após termos considerado os números primos mencionados acima e os seus respectivos múltiplos, procederemos, a seguir, à expansão das fracções em cujos denominadores figuram os restantes primos, tal como se apresentam na esfíngica tabela já referida mais acima.
Sinalizaremos o facto de a fracção com o denominador primo 29 ser a primeira cujo desenvolvimento apresenta quatro termos.
Sublinharemos, ainda, o espanto de não sabermos por que razão, no desenvolvimento das fracções de denominadores 55 e 95, estes foram considerados múltiplos de 11 e de 19, respectivamente, e não de 5.
De igual modo, também não se descortina a razão pela qual as fracções com denominadores 35, 91 e 101 foram tratadas de forma autónoma. Nos dois primeiros casos, deparamo-nos com uma identidade que, de modo surpreendente, faz apelo à relação entre as médias aritmética, geométrica e harmónica. Enfatizaremos o facto de que essas duas fracções — de denominadores 35 e 91 — serem, em certa medida, as mais enigmáticas da tabela, pois são as únicas, com denominadores compostos, cujos desenvolvimentos não são múltiplos simples dos desenvolvimentos de um dos seus factores primos. Para o caso do denominador 101, os matemáticos egípcios lidaram, de forma surpreendente, com a seguinte propriedade dos números perfeitos: “Para qualquer número perfeito, a soma dos inversos de todos os seus divisores é igual a 2.”
Deliciar-nos-emos com dois belos versos da Mensagem de Fernando Pessoa.
Mostraremos também como breve nota, formas diferentes de se proceder à expansão de uma determinada fracção.
Disporemos ainda de tempo para entrever os métodos utilizados pelos antigos egípcios nas operações de multiplicação e divisão.
Nesta teia de tantas fascinações, ainda referiremos o recurso aos intrigantes “números auxiliares vermelhos” — que são nada mais do que a aplicação do conceito de “mínimo múltiplo comum” — para a resolução de equações do primeiro grau.
A terminar, aludiremos a conjectura de Erdöes-Strauss como uma das várias conjecturas associadas às fracções egípcias.
Finalizaremos, então, este nosso jornadear em torno das denominadas fracções egípcias — fabuloso território de muitos e fascinantes mistérios.